확률 론적 이자율을 가진 주식 가격 결정권
확률 론적 금리 아래의 가격 옵션 : 새로운 접근법.
김용진 쿠노 토모 나오토.
확률 론적 금리를 통합하여 Black-Scholes 옵션 가격 결정 공식을 일반화합니다. 기존의 문헌이 확률 적 금리 하에서 스톡 옵션에 대한 공식을 얻었지만, 폐쇄 형 솔루션은 Gaussian (Merton 유형) 이자율 프로세스에서만 알려져 있습니다. 우리는 금리 변동성이 작을 때 점근 적 팽창 접근법을 확장함으로써 특정 점근 적 의미에서 확률 적 금리 하에서 확장 된 Black-Scholes 공식 인 명시적인 해법을 얻을 수 있음을 보여줄 것이다. Itô 과정에 대한 작은 외란 적 점근이라고 불리는이 방법은 Kunitomo와 Takahashi (1995, 1998)와 Takahashi (1997)에 의해 최근 개발되었다. 우리는 확장 된 Black-Scholes 공식이 결정 론적 금리와 금리의 변동성에 의한 조정 기간에 따라 원래의 Black-Scholes 공식으로 분해된다는 것을 발견했습니다. 우리는 금리에 Cox-Ingersoll-Ross 모델을 사용하여 새로운 공식의 수치 정확도를 설명 할 것입니다.
이 개정판은 2006 년 8 월에 온라인으로 게시되어 Cover Date에 대한 수정 사항이 있습니다.
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김용진 1 나오토 쿠니 토모 1 1. 일본 도쿄 대학 경제 학부.
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&부; 2017 Springer International Publishing AG. 스프링거 자연의 일부입니다.
확률 론적 이자율을 가진 주식 가격 옵션.
46 Pages 게시 : 2011 년 10 월 3 일
Menachem (Meni) Abudy.
Bar-Ilan University - 경영 대학원.
Yehuda (Yud) Izhakian.
City University of New York, CUNY Baruch College - Zicklin School of Business - 경제 금융학과.
확률 론적 이자율을 가진 주식 가격 옵션.
확률 론적 이자율을 가진 주식 가격 옵션.
작성 날짜 : 2011 년 10 월 3 일.
이 논문은 단기 금리가 확률 적 가우스 과정을 따르는 경우에 대한 블랙 숄즈 모형의 폐쇄 형 일반화를 구성한다. 불확실성의 추가 원천을 포착하는 것은 옵션 가격에 상당한 영향을 미치는 것으로 보인다. 우리는 스톡 옵션의 가치가 이자율의 변동성과 성숙시기에 따라 증가한다는 것을 보여줍니다. 우리의 경험적 테스트는 이론적 모델을 지원하고 Black-Scholes 모델에 비해 상당한 가격 인상 효과를 입증합니다. 개선의 크기는 옵션의 만기 시간에 대한 긍정적 인 기능이며, 주변 옵션에 대해 가장 큰 개선이 이루어졌습니다.
키워드 : 옵션, 콜 옵션, 풋 옵션, 풋 - 콜 패리티, 확률 론적 이자율.
JEL 분류 : G12, G13.
Menachem Abudy (연락처 작성자)
Bar-Ilan University - 경영 대학원 ()
Yehuda (Yud) Izhakian.
뉴욕 시립 대학교, CUNY Baruch College - Zicklin School of Business - 경제 금융부 ()
17 렉싱턴 애비뉴.
뉴욕, 뉴욕 10010
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확률 론적 이자율을 적용한 가격 결정 옵션
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블랙 - 숄즈는 확률 론적 금리를받습니다.
나는 확률 론적 금리 하에서 통화 옵션 가격을 책정하기 위해 Black-Scholes 공식을 구현하려고합니다. McLeish (2005)의 책에 따르면, 수식은 다음과 같이 주어진다. (금리는 비 랜덤, 즉 알려졌다는 가정하에)
여기서 $ bar = \ frac \ int_0 ^ Tr_tdt $는 옵션 기간 동안의 평균 이자율입니다.
이자율이 무작위라면 "우리는 여전히 블랙 숄즈 공식을 먼저 이자율을 조절함으로써 사용할 수 있습니다.
$ \ bar $의 값을 시뮬레이션하고 평균을내어 이것의 무조건적인 기대 값을 계산합니다.
시뮬레이트 된 샘플 경로가 주어지면 어떻게 $ \ bar $를 계산할 수 있을지 모르겠습니다.
우리는 단기 이자율 $ r_t $가 Hull-White 모형, 즉 단시간 $ r $와 주가 $ S $가 SDE 체계를 만족한다고 가정합니다. \ begin dr_t & amp; = (\ theta_t Big), Big (Big), Big (BigD), Big (BigDown), Big (Small) \ end where $ a $, $ \ sigma_0 $, $ \ sigma $, $ \ rho $는 상수이고, $ \ $와 $ \ $는 두 개의 독립적 인 표준 브라운 운동입니다.
\ begin & amp; \ E \ bigg (\ exp \ Big (- \ int_0 ^ T r_t dt \ Big) (S_T-K) ^ + \ bigg) \\ = & amp; \ E \ bigg (\ ^ W \ ^ 2 \ big) \ - K \ Big (^^) + \ bigg) \\ = & amp; \ E \ Bigg (E \ bigg (e ^ T> \ Big \ S_0e ^ T - \ frac \ sigma ^ 2 T + \ 시그마 \ 빅 (\ Who ^ _ ^ 1 + \ sqrt W_T ^ 2 \ big)> - K \ 빅] ^ + \ Bigg \ vert r_s, 0 & lt; s \ leq T \ bigg) \ Bigg) \\ = & amp; ($ F, S, T, \ S, T, \ S, T, \ S, T) 수식에서 확률 변수 $ W_T ^ 1 $에 주목하십시오.
만약 $ \ rho = 0 $, 즉 $ S $와 $ r $가 독립적이라면, \ begin & \ \ \ big (\ exp \ Big (- \ int_0 ^ T r_t dt \ Big) (S_T-K ) ^ + \ 큰) \\ = & amp; \ E \ Bigg (E \ bigg (S ^ 0 ^ T - \ frac \ sigma ^ 2 T + \ sigma W_T ^ 2> - K \ Big) ^ + \ 큰 \ r rs, 0 & lt; Big (BS (S_0, K, \ bar, T, \ sigma) \ Big \ vert r_s, 0 & lt; s \ leq T \ Big). \ end 즉, 주가와 금리가 독립적 인 경우 질문에 제공된 공식이 유지됩니다. 이 경우, $ \ bar $는 리만 합계로 근사 할 수 있습니다.
여기서 우리는 위의 바닐라 유럽 옵션에 대한 분석적 평가 공식을 제공합니다. 이 질문으로부터 제로 - 쿠폰 채권 가격은 \ begin P (t, T) & E = left (e ^ \ Big \ mathcal _t \ right) \\ & amp; = exp \ left B (s, T) ^ 2 ds \ right), \ B (s, T) 여기서 \ begin B (t, T) = \ frac \ Big (1-e ^ \ Big). (t, T) dt - \ frac \ sigma_0 ^ 2 B (t, T) dr_t + \ (t, T) dW_t, \ tag \, \ tag \ (t, T) = P (t, T) \ big [r_t dt - \ sigma_0 B (t, T) dW_t \ big] \종료.
$ Q $는 위험 중립 척도를 나타내고 $ Q ^ T $는 $ T $ 전진 척도를 나타냅니다. 또한 $ B_t = e ^ $를 머니 마켓 계좌 값이라고합시다. \ begin {frac} \ Bigg | _t & amp; = \ frac \ \ (\ text B_0 = 1) \\ & amp; \ exp \ left (- \ frac \ int_0 ^ t \ sigma_0 ^ 2 B (s, T) ^ 2 ds - \ int_0 ^ t \ sigma_0 B (s, T) dW_s \ right). \ end 그런 다음 Girsanov 정리에 의해 $ Q ^ T $, 프로세스 $ \ _t ^ 1, \ widehat _t ^ 2), t \ ge 0 \> $, \ begin \ widehat _t ^ 1 & amp; = W_t \\ \ int_0 ^ t \ sigma_0 B (s, T) ds, \\ \ widehat _t ^ 2 & = W_t ^ 2, \ end는 표준적인 2 차원 브라운 운동이다. 또한, $ Q ^ T $ 아래에서 \ begin dP (t, T) & amp; = P (t, T) \ big [r_t dt - \ sigma_0 B (t, T) dW_t ^ 1 \ big] \\ & amp; (t, T) d \ widehat _t ^ 1 \ Big] \ P (t, T) \ dS_t & amp; S_t \ Big [\ big (r_t dt + \ sqrt dW_t ^ 2 \ Big) \ Big] \ 시그마 B (t, T) \ 빅) dt + \ 시그마 \ 빅 (\ rho d \ widehat _t ^ 1 + \ sqrt d \ widehat _t ^ 2 \ Big) \ Big].
앞으로 가격 $ F (t, T) $는 \ begin F (t, T) & E = (S_T \ mid \ mathcal _t) \\ & amp; = \ frac 형태로되어 있습니다. \ end는 $ T $ 순방향 측정 값 $ Q ^ T $ 하에서 마틴 게일이고 \ begin dF (t, T) && \ frac - \ frac dP (t, T) 형태의 SDE를 만족한다. P (t, T), P (t, T), F (t, T) \ left [\ sigma \ Big (\ r) (t, T) d \ widehat _t ^ 1 \ right] \\ & amp; = F (t, T) \ left [\ widehat _t ^ 1 + \ sqrt d \ widehat _t ^ 2 \ Big) 큰 (\ sigma \ rho + \ sigma_0 B (t, T) \ big) d \ widehat _t ^ 1 + \ sigma \ sqrt d \ widehat _t ^ 2 \ right]. \ end $ \ hat $을 \ begin \ hat ^ 2 & amp; = \ int_0 ^ T \ Big [\ big (\ sigma_0 B (s, T) \ big)으로 정의 된 양이라하면 ^ 2 (s, T (t))는 다음과 같이 정의된다. Big (1-e ^ \ big) \ Big] \ sigma_0 ^ 2 B ^ 2 (s, T) \ Big] big \] \ \ 시그마 ^ 2T + \ frac \ 빅 [\ frac \ big (1-e ^ \ big) Big] + [Big] + Big [Big]을 선택합니다. \ end $ Z $가 표준 표준 인 경우 \ F (T, T) = F (0, T) \ exp \ left (- \ frac \ hat ^ 2T + \ hat \ sqrt Z \ right) 무작위 변수. 결과적으로 \ 시작 E_Q \ left (\ frac \ right) & amp; E_Q \ left (\ frac \ right) \\ & amp; E_ \ left (\ frac \ frac \ 큰 | _T \ right) \\ & amp; = F (0, T) N (d_1) - P (0, T) KN (d_2) \ big], \ end 여기서 $ d_1 = \ frac \ hat ^ 2 T> \ sqrt> $ 및 $ d_2 = d_1 - \ hat \ sqrt $.
옵션 가격을 정의하기 위해서 우리는 Black Sholes 건설을 따라 위험 자산이없는 포트폴리오를 구성한 후이 포트폴리오의 순시 수익률을 균등 위험 자유 율 r (t)로 나타내야한다. 여기서 r은 [t, t + dt] 간격. 우리는 실제로 BS 가격 책정 세계에 포함될 수없는 문제에 도달합니다.
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블랙 - 숄즈는 확률 론적 금리를받습니다.
나는 확률 론적 금리 하에서 통화 옵션 가격을 책정하기 위해 Black-Scholes 공식을 구현하려고합니다. McLeish (2005)의 책에 따르면, 수식은 다음과 같이 주어진다. (금리는 비 랜덤, 즉 알려졌다는 가정하에)
여기서 $ bar = \ frac \ int_0 ^ Tr_tdt $는 옵션 기간 동안의 평균 이자율입니다.
이자율이 무작위라면 "우리는 여전히 블랙 숄즈 공식을 먼저 이자율을 조절함으로써 사용할 수 있습니다.
$ \ bar $의 값을 시뮬레이션하고 평균을내어 이것의 무조건적인 기대 값을 계산합니다.
시뮬레이트 된 샘플 경로가 주어지면 어떻게 $ \ bar $를 계산할 수 있을지 모르겠습니다.
우리는 단기 이자율 $ r_t $가 Hull-White 모형, 즉 단시간 $ r $와 주가 $ S $가 SDE 체계를 만족한다고 가정합니다. \ begin dr_t & amp; = (\ theta_t Big), Big (Big), Big (BigD), Big (BigDown), Big (Small) \ end where $ a $, $ \ sigma_0 $, $ \ sigma $, $ \ rho $는 상수이고, $ \ $와 $ \ $는 두 개의 독립적 인 표준 브라운 운동입니다.
\ begin & amp; \ E \ bigg (\ exp \ Big (- \ int_0 ^ T r_t dt \ Big) (S_T-K) ^ + \ bigg) \\ = & amp; \ E \ bigg (\ ^ W \ ^ 2 \ big) \ - K \ Big (^^) + \ bigg) \\ = & amp; \ E \ Bigg (E \ bigg (e ^ T> \ Big \ S_0e ^ T - \ frac \ sigma ^ 2 T + \ 시그마 \ 빅 (\ Who ^ _ ^ 1 + \ sqrt W_T ^ 2 \ big)> - K \ 빅] ^ + \ Bigg \ vert r_s, 0 & lt; s \ leq T \ bigg) \ Bigg) \\ = & amp; ($ F, S, T, \ S, T, \ S, T, \ S, T) 수식에서 확률 변수 $ W_T ^ 1 $에 주목하십시오.
만약 $ \ rho = 0 $, 즉 $ S $와 $ r $가 독립적이라면, \ begin & \ \ \ big (\ exp \ Big (- \ int_0 ^ T r_t dt \ Big) (S_T-K ) ^ + \ 큰) \\ = & amp; \ E \ Bigg (E \ bigg (S ^ 0 ^ T - \ frac \ sigma ^ 2 T + \ sigma W_T ^ 2> - K \ Big) ^ + \ 큰 \ r rs, 0 & lt; Big (BS (S_0, K, \ bar, T, \ sigma) \ Big \ vert r_s, 0 & lt; s \ leq T \ Big). \ end 즉, 주가와 금리가 독립적 인 경우 질문에 제공된 수식이 성립합니다. 이 경우, $ \ bar $는 리만 합계로 근사 할 수 있습니다.
여기서 우리는 위의 바닐라 유럽 옵션에 대한 분석적 평가 공식을 제공합니다. 이 질문으로부터 제로 - 쿠폰 채권 가격은 \ begin P (t, T) & E = left (e ^ \ Big \ mathcal _t \ right) \\ & amp; = exp \ left B (s, T) ^ 2 ds \ right), \ B (s, T) 여기서 \ begin B (t, T) = \ frac \ Big (1-e ^ \ Big). (t, T) dt - \ frac \ sigma_0 ^ 2 B (t, T) dr_t + \ (t, T) dW_t, \ tag \, \ tag \ (t, T) = P (t, T) \ big [r_t dt - \ sigma_0 B (t, T) dW_t \ big] \종료.
$ Q $는 위험 중립 척도를 나타내고 $ Q ^ T $는 $ T $ 전진 척도를 나타냅니다. 또한 $ B_t = e ^ $를 머니 마켓 계좌 값이라고합시다. \ begin {frac} \ Bigg | _t & amp; = \ frac \ \ (\ text B_0 = 1) \\ & amp; \ exp \ left (- \ frac \ int_0 ^ t \ sigma_0 ^ 2 B (s, T) ^ 2 ds - \ int_0 ^ t \ sigma_0 B (s, T) dW_s \ right). \ end 그런 다음 Girsanov 정리에 의해 $ Q ^ T $, 프로세스 $ \ _t ^ 1, \ widehat _t ^ 2), t \ ge 0 \> $, \ begin \ widehat _t ^ 1 & amp; = W_t \\ \ int_0 ^ t \ sigma_0 B (s, T) ds, \\ \ widehat _t ^ 2 & = W_t ^ 2, \ end는 표준적인 2 차원 브라운 운동이다. 또한, $ Q ^ T $ 아래에서 \ begin dP (t, T) & amp; = P (t, T) \ big [r_t dt - \ sigma_0 B (t, T) dW_t ^ 1 \ big] \\ & amp; (t, T) d \ widehat _t ^ 1 \ Big] \ P (t, T) \ dS_t & amp; S_t \ Big [\ big (r_t dt + \ sqrt dW_t ^ 2 \ Big) \ Big] \ 시그마 B (t, T) \ 빅) dt + \ 시그마 \ 빅 (\ rho d \ widehat _t ^ 1 + \ sqrt d \ widehat _t ^ 2 \ Big) \ Big].
앞으로 가격 $ F (t, T) $는 \ begin F (t, T) & E = (S_T \ mid \ mathcal _t) \\ & amp; = \ frac 형태로되어 있습니다. \ end는 $ T $ 순방향 측정 값 $ Q ^ T $ 하에서 마틴 게일이고 \ begin dF (t, T) && \ frac - \ frac dP (t, T) 형태의 SDE를 만족한다. P (t, T), P (t, T), F (t, T) \ left [\ sigma \ Big (\ r) (t, T) d \ widehat _t ^ 1 \ right] \\ & amp; = F (t, T) \ left [\ widehat _t ^ 1 + \ sqrt d \ widehat _t ^ 2 \ Big) 큰 (\ sigma \ rho + \ sigma_0 B (t, T) \ big) d \ widehat _t ^ 1 + \ sigma \ sqrt d \ widehat _t ^ 2 \ right]. \ end $ \ hat $을 \ begin \ hat ^ 2 & amp; = \ int_0 ^ T \ Big [\ big (\ sigma_0 B (s, T) \ big)으로 정의 된 양이라하면 ^ 2 (s, T (t))는 다음과 같이 정의된다. Big (1-e ^ \ big) \ Big] \ sigma_0 ^ 2 B ^ 2 (s, T) \ Big] big \] \ \ 시그마 ^ 2T + \ frac \ 빅 [\ frac \ big (1-e ^ \ big) Big] + [Big] + Big [Big]을 선택합니다. \ end $ Z $가 표준 표준 인 경우 \ F (T, T) = F (0, T) \ exp \ left (- \ frac \ hat ^ 2T + \ hat \ sqrt Z \ right) 무작위 변수. 결과적으로 \ 시작 E_Q \ left (\ frac \ right) & amp; E_Q \ left (\ frac \ right) \\ & amp; E_ \ left (\ frac \ frac \ 큰 | _T \ right) \\ & amp; = F (0, T) N (d_1) - P (0, T) KN (d_2) \ big], \ end 여기서 $ d_1 = \ frac \ hat ^ 2 T> \ sqrt> $ 및 $ d_2 = d_1 - \ hat \ sqrt $.
옵션 가격을 정의하기 위해서 우리는 Black Sholes 건설을 따라 위험 자산이없는 포트폴리오를 구성한 다음이 포트폴리오의 순시 수익률을 균등 위험 자유 율 r (t)로 나타내야한다. 여기서 r은 [t, t + dt] 간격. 우리는 실제로 BS 가격 책정 세계에 끼워 넣을 수없는 문제에 도달합니다.
App Store를 통해 가져 오기 우리의 응용 프로그램 에서이 게시물을 읽으십시오!
블랙 - 숄즈는 확률 론적 금리를받습니다.
나는 확률 론적 금리 하에서 통화 옵션 가격을 책정하기 위해 Black-Scholes 공식을 구현하려고합니다. McLeish (2005)의 책에 따르면, 수식은 다음과 같이 주어진다. (금리는 비 랜덤, 즉 알려졌다는 가정하에)
여기서 $ bar = \ frac \ int_0 ^ Tr_tdt $는 옵션 기간 동안의 평균 이자율입니다.
이자율이 무작위라면 "우리는 여전히 블랙 숄즈 공식을 먼저 이자율을 조절함으로써 사용할 수 있습니다.
$ \ bar $의 값을 시뮬레이션하고 평균을내어 이것의 무조건적인 기대 값을 계산합니다.
시뮬레이트 된 샘플 경로가 주어지면 어떻게 $ \ bar $를 계산할 수 있을지 모르겠습니다.
우리는 단기 이자율 $ r_t $가 Hull-White 모형, 즉 단시간 $ r $와 주가 $ S $가 SDE 체계를 만족한다고 가정합니다. \ begin dr_t & amp; = (\ theta_t Big), Big (Big), Big (BigD), Big (BigDown), Big (Small) \ end where $ a $, $ \ sigma_0 $, $ \ sigma $, $ \ rho $는 상수이고, $ \ $와 $ \ $는 두 개의 독립적 인 표준 브라운 운동입니다.
\ begin & amp; \ E \ bigg (\ exp \ Big (- \ int_0 ^ T r_t dt \ Big) (S_T-K) ^ + \ bigg) \\ = & amp; \ E \ bigg (\ ^ W \ ^ 2 \ big) \ - K \ Big (^^) + \ bigg) \\ = & amp; \ E \ Bigg (E \ bigg (e ^ T> \ Big \ S_0e ^ T - \ frac \ sigma ^ 2 T + \ 시그마 \ 빅 (\ Who ^ _ ^ 1 + \ sqrt W_T ^ 2 \ big)> - K \ 빅] ^ + \ Bigg \ vert r_s, 0 & lt; s \ leq T \ bigg) \ Bigg) \\ = & amp; ($ F, S, T, \ S, T, \ S, T, \ S, T) 수식에서 확률 변수 $ W_T ^ 1 $에 주목하십시오.
만약 $ \ rho = 0 $, 즉 $ S $와 $ r $가 독립적이라면, \ begin & \ \ \ big (\ exp \ Big (- \ int_0 ^ T r_t dt \ Big) (S_T-K ) ^ + \ 큰) \\ = & amp; \ E \ Bigg (E \ bigg (S ^ 0 ^ T - \ frac \ sigma ^ 2 T + \ sigma W_T ^ 2> - K \ Big) ^ + \ 큰 \ r rs, 0 & lt; Big (BS (S_0, K, \ bar, T, \ sigma) \ Big \ vert r_s, 0 & lt; s \ leq T \ Big). \ end 즉, 주가와 금리가 독립적 인 경우 질문에 제공된 수식이 성립합니다. 이 경우, $ \ bar $는 리만 합계로 근사 할 수 있습니다.
여기서 우리는 위의 바닐라 유럽 옵션에 대한 분석적 평가 공식을 제공합니다. 이 질문으로부터 제로 - 쿠폰 채권 가격은 \ begin P (t, T) & E = left (e ^ \ Big \ mathcal _t \ right) \\ & amp; = exp \ left B (s, T) ^ 2 ds \ right), \ B (s, T) 여기서 \ begin B (t, T) = \ frac \ Big (1-e ^ \ Big). (t, T) dt - \ frac \ sigma_0 ^ 2 B (t, T) dr_t + \ (t, T) dW_t, \ tag \, \ tag \ (t, T) = P (t, T) \ big [r_t dt - \ sigma_0 B (t, T) dW_t \ big] \종료.
$ Q $는 위험 중립 척도를 나타내고 $ Q ^ T $는 $ T $ 전진 척도를 나타냅니다. 또한 $ B_t = e ^ $를 머니 마켓 계좌 값이라고합시다. \ begin {frac} \ Bigg | _t & amp; = \ frac \ \ (\ text B_0 = 1) \\ & amp; \ exp \ left (- \ frac \ int_0 ^ t \ sigma_0 ^ 2 B (s, T) ^ 2 ds - \ int_0 ^ t \ sigma_0 B (s, T) dW_s \ right). \ end 그런 다음 Girsanov 정리에 의해 $ Q ^ T $, 프로세스 $ \ _t ^ 1, \ widehat _t ^ 2), t \ ge 0 \> $, \ begin \ widehat _t ^ 1 & amp; = W_t \\ \ int_0 ^ t \ sigma_0 B (s, T) ds, \\ \ widehat _t ^ 2 & = W_t ^ 2, \ end는 표준적인 2 차원 브라운 운동이다. 또한, $ Q ^ T $ 아래에서 \ begin dP (t, T) & amp; = P (t, T) \ big [r_t dt - \ sigma_0 B (t, T) dW_t ^ 1 \ big] \\ & amp; (t, T) d \ widehat _t ^ 1 \ Big] \ P (t, T) \ dS_t & amp; S_t \ Big [\ big (r_t dt + \ sqrt dW_t ^ 2 \ Big) \ Big] \ 시그마 B (t, T) \ 빅) dt + \ 시그마 \ 빅 (\ rho d \ widehat _t ^ 1 + \ sqrt d \ widehat _t ^ 2 \ Big) \ Big].
앞으로 가격 $ F (t, T) $는 \ begin F (t, T) & E = (S_T \ mid \ mathcal _t) \\ & amp; = \ frac 형태로되어 있습니다. \ end는 $ T $ 순방향 측정 값 $ Q ^ T $ 하에서 마틴 게일이고 \ begin dF (t, T) && \ frac - \ frac dP (t, T) 형태의 SDE를 만족한다. P (t, T), P (t, T), F (t, T) \ left [\ sigma \ Big (\ r) (t, T) d \ widehat _t ^ 1 \ right] \\ & amp; = F (t, T) \ left [\ widehat _t ^ 1 + \ sqrt d \ widehat _t ^ 2 \ Big) 큰 (\ sigma \ rho + \ sigma_0 B (t, T) \ big) d \ widehat _t ^ 1 + \ sigma \ sqrt d \ widehat _t ^ 2 \ right]. \ end $ \ hat $을 \ begin \ hat ^ 2 & amp; = \ int_0 ^ T \ Big [\ big (\ sigma_0 B (s, T) \ big)으로 정의 된 양이라하면 ^ 2 (s, T (t))는 다음과 같이 정의된다. Big (1-e ^ \ big) \ Big] \ sigma_0 ^ 2 B ^ 2 (s, T) \ Big] big \] \ \ 시그마 ^ 2T + \ frac \ 빅 [\ frac \ big (1-e ^ \ big) Big] + [Big] + Big [Big]을 선택합니다. \ end $ Z $가 표준 표준 인 경우 \ F (T, T) = F (0, T) \ exp \ left (- \ frac \ hat ^ 2T + \ hat \ sqrt Z \ right) 무작위 변수. 결과적으로 \ 시작 E_Q \ left (\ frac \ right) & amp; E_Q \ left (\ frac \ right) \\ & amp; E_ \ left (\ frac \ frac \ 큰 | _T \ right) \\ & amp; = F (0, T) N (d_1) - P (0, T) KN (d_2) \ big], \ end 여기서 $ d_1 = \ frac \ hat ^ 2 T> \ sqrt> $ 및 $ d_2 = d_1 - \ hat \ sqrt $.
옵션 가격을 정의하기 위해서 우리는 Black Sholes 건설을 따라 위험 자산이없는 포트폴리오를 구성한 다음이 포트폴리오의 순시 수익률을 균등 위험 자유 율 r (t)로 나타내야한다. 여기서 r은 [t, t + dt] 간격. 우리는 실제로 BS 가격 책정 세계에 끼워 넣을 수없는 문제에 도달합니다.
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